Příklad momentové a intervalové dynamické řady. Dynamické řady, jejich význam. Typy dynamických řad: okamžité a intervalové. Dynamické řady absolutních a relativních hodnot, průměrné hodnoty. Průměrné hodnoty ukazatelů časové řady

Zobecňující charakteristika dynamiky zkoumaného jevu je určena pomocí následujících průměrných ukazatelů: průměrná úroveň řádku, téma průměrného růstu, průměrná míra růstu.

Průměrná úroveň řady charakterizuje zobecněnou hodnotu absolutních úrovní řady.

Pro intervalové časové řady se průměrná úroveň určí:

a) ve stejných intervalech podle jednoduchého aritmetického vzorce (7.18):

kde y 1 …y n - absolutní úrovně řady;

n - počet úrovní.

Například průměrná úroveň řady intervalové dynamiky uvedené v odstavci 7.1 je 935 milionů rublů.

b) pro nestejné intervaly pomocí vzorce váženého aritmetického průměru (7.19):

kde t je trvání časových intervalů mezi úrovněmi řady.

Průměrná úroveň momentové řady dynamiky je určena:

a) pro řadu se stejně rozloženými daty pomocí průměrného chronologického jednoduchého vzorce (7.20):

Příklad, průměrná úroveň pro momentová řada dynamika uvedená v bodě 7.1 je 195 osob.

b) pro řadu s nestejně rozmístěnými daty pomocí průměrného chronologického váženého vzorce (7.21):

Průměrný absolutní nárůst se vypočítá dvěma způsoby:

a) řetězec (na základě absolutních nárůstů řetězce) (7.22):

kde m je počet absolutních přírůstků (m = n - 1, n je počet členů řady);

b) základní (na základě celkového základního absolutního zvýšení) (7,23):

Pro naši momentovou sérii dynamiky je průměrný absolutní nárůst, vypočítaný řetězovou metodou, 2 osoby:

Výpočet pomocí základní metody dává stejný výsledek. Tímto způsobem je průměrný nárůst počtu zaměstnanců za čtvrtletí 2 osoby.

Průměrná rychlost růstu pro série se stejnými intervaly nebo se stejně rozloženými daty, vypočítané:

a) řetězovým způsobem (podle vzorce geometrického průměru) (7.24):

kde m je počet růstových koeficientů (m = n - 1);

b) základním způsobem (7.25):

Průměrná rychlost růstu pro série se stejnými intervaly a rovnoměrně rozloženými daty, se vypočítá pomocí vzorce (7.26):

Průměrný růstový koeficient pro uvažovanou řadu je, tj. průměrný růst čísel za čtvrtletí byl 101,03 %.

Průměrné míry růstu (koeficienty) se vypočítají na základě průměrné míry růstu nebo koeficientů odečtením 100 % nebo 1 od posledně jmenovaného (7,27 a 7,28):

Průměrná míra růstu pro náš příklad je 1,03 % (101,03 %-100 %).

Při současné analýze dynamiky dvou jevů je zajímavé porovnat intenzitu jejich změn v čase. Takové srovnání se provádí za přítomnosti časových řad stejného obsahu, ale vztahujících se k různým územím nebo objektům, nebo při porovnávání řad různých obsahů charakterizujících stejný objekt. Porovnání intenzity změn úrovní řad v čase je možné pomocí koeficientů záloha, představující poměr základních temp růstu nebo přírůstku dvou dynamických řad za stejná časová období (7,29) a (7,30):

Například tempo růstu objemů výroby v podniku ve vykazovaném roce bylo 126 % a tempo růstu zaměstnanců bylo 120 %. Tempo růstu objemů výroby ve vykazovaném roce tak překonalo růst počtu zaměstnanců v podniku 1,05krát (126/120).

Koeficient předstihu lze také vypočítat na základě srovnání průměrných temp růstu nebo temp růstu:

Metody analýzy hlavního trendu časové řady

Hlavní tendencí řady dynamik (resp. trendu) byla stabilní změna úrovně jevu v čase, způsobená vlivem neustále působících faktorů a bez náhodných fluktuací.

V případech, kdy úrovně časové řady neustále rostou nebo neustále klesají, je hlavní trend řady zřejmý. Poměrně často však úrovně časových řad procházejí různými změnami (tj. buď rostou, nebo klesají) a obecný trend je nejasný. Úkolem statistiky je identifikovat trendy v těchto řadách. K tomuto účelu jsou časové řady zpracovány metodami intervalového zvětšení, klouzavého průměru a analytického zarovnání.

Zvětšení intervalů je nejjednodušší metoda. Je založena na prodlužování časových úseků, ke kterým se vztahují úrovně řady dynamik. Zároveň se snižuje počet intervalů. Uvažujme aplikaci této metody na příkladu měsíčních údajů o výstupu podniku.

Různé směry změn úrovní série pro jednotlivé měsíce ztěžují vyvozování závěrů o hlavním trendu ve výrobě. Pokud se však měsíční úrovně zkombinují do čtvrtletních úrovní a pak se průměrná měsíční produkce vypočítá podle čtvrtletí, bude trend zřejmý.

5,23 < 5,57 < 5,87 < 6,03.

Časová řada tedy vykazuje vzestupnou tendenci.

Metoda klouzavého průměru je následující. Průměrná úroveň je určena z určitého objemu lichého počtu prvních úrovní série a poté ze stejného počtu úrovní, ale počínaje druhou. Pak od třetího a tak dále. Průměr tedy klouže podél řady dynamiky a pohybuje se o jednu úroveň. Podívejme se na poznámku této metody na příkladu produktivity práce v podniku.

Rok	Roční výkon na pracovníka, t	Klouzavý průměr
třísemestrální	pětičlenná
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999	15,4 14,0 17,6 15,4 10,9 17,5 15,0 18,5 14,2 14,9	- (15,4 + 14,0 + 17,6) : 3 = 15,7 (14,0 + 17,6 + 15,4) : 3 = 15,4 14,6 14,6 14,5 17,0 15,9 15,9 -	- - 14,7 15,1 15,2 17,1 16,8 17,6 - -

Řada vyhlazená pětiletými průměry již umožňuje hovořit o tendenci ke zvyšování produktivity práce v podniku. Nevýhodou metody je ztráta informace spojená se zkracováním řady

Uvažované metody umožňují určit obecný trend změn úrovní řady dynamik. Neumožňují nám však získat zobecněný statistický model trendu. K tomuto účelu využívají analytická metoda zarovnánířádky dynamiky. Hlavním obsahem metody je, že obecný vývojový trend je prezentován jako funkce času:

Kde je úroveň časové řady vypočtená pomocí odpovídající rovnice v určitém časovém okamžiku t.

Stanovení teoretických úrovní řady dynamik se provádí na základě tzv. adekvátního matematického modelu, který nejlépe odráží hlavní trend.

Nejjednodušší modely pro zobrazení socioekonomických procesů jsou následující:

Lineární

Orientační

Napájení

Parabola

Parametry funkce se obvykle počítají metodou nejmenších čtverců.

Parametry rovnice, které splňují tuto podmínku, lze nalézt řešením soustavy normálních rovnic. Na základě získané trendové rovnice jsou vypočteny teoretické úrovně. Vyrovnání řady dynamiky tedy spočívá v nahrazení skutečných úrovní y plynule se měnící teoretické úrovně.

Pro konečnou volbu typu adekvátní matematické funkce se používají speciální kritéria matematické statistiky (kritérium X 2, Kolmogorova - Smirnova a další).

Metody studia sezónních změn

Při porovnávání čtvrtletních a měsíčních údajů u mnoha socioekonomických jevů často zjišťujeme periodické oscilace vznikající pod vlivem měnících se ročních období. Jsou výsledkem vlivu přírodních a klimatických podmínek, obecných ekonomických faktorů, jakož i dalších četných a různorodých faktorů, které jsou často regulovány.

Ve statistice se periodické fluktuace, které mají určitou a konstantní periodu rovnající se ročnímu intervalu, nazývají sezónní fluktuace nebo sezónní vlny a dynamická řada se v tomto případě nazývá sezónní dynamická řada. Sezónní výkyvy jsou pozorovány v různých odvětvích hospodářství, včetně chemického a lesnického komplexu. V některých případech mohou negativně ovlivnit výsledky výrobní činnosti. Vyvstává proto otázka regulace sezónních změn. Tato regulace by měla vycházet ze studie sezónních výkyvů.

Ve statistice existuje řada metod pro studium a měření sezónních výkyvů. Nejjednodušší z nich je výpočet speciálních ukazatelů tzv sezónní indexy Je . Kombinace těchto ukazatelů odráží sezónní vlnu.

Aby bylo možné identifikovat stabilní sezónní vlnu, která by nebyla ovlivněna náhodnými podmínkami jednoho roku, jsou indexy sezónních fluktuací počítány pomocí dat pro několik lat (nejméně tři).

Pokud řada dynamiky neobsahuje výrazný trend ve vývoji, pak se indexy sezónnosti počítají přímo z empirických dat bez jejich předběžného sladění.

Pro každý měsíc se počítá průměrná úroveň např. za tři roky (), poté se počítá průměrná měsíční úroveň pro celou řadu (). Poté se určí indexy sezónnosti, což jsou procenta průměrů za každý měsíc k celkové průměrné měsíční úrovni řady (7,35):

Příklad.K dispozici jsou měsíční údaje o objemu prodeje stěnových materiálů společnosti, milion kusů. podmíněná cihla. Je nutné vypočítat sezónní indexy.

Měsíc	Objem prodeje, miliony kusů	Je, %
2000	2001	2002	Průměrná měsíční úroveň
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	10,2 15,2 17,3 19,4 21,2 26,1 28,3 21,4 22,1 14,6 9,5 12,4	9,7 16,1 14,8 22,7 25,4 28,2 25,8 23,3 20,7 15,2 8,6 12,9	11,8 14,4 15,6 16,5 29,1 25,2 23,5 23,6 28,2 26,3 13,3 14,6	10,6 15,2 15,9 19,5 25,2 26,5 25,6 22,8 20,3 15,4 10,5 13,3	57,6 82,5 86,3 105,9 136,8 143,9 140,6 123,8 110,2 83,6 57,0 72,2
CELKOVÝ	217,7	223,4	221,1	221,1	1200,4
Průměrný	18,14	18,61	18,51	18,42	100,0

Pro přehlednost je sezónní vlna znázorněna jako graf.

S představou o sezónních změnách konkrétního jevu může podnik správně rozdělovat materiální, finanční a pracovní zdroje v průběhu roku,

V případě, že hladiny časových řad vykazují tendenci ke zvýšení nebo poklesu, jsou aktuální data porovnána se zarovnanými, tj. získanými pomocí analytického zarovnání. Sezónní indexy se vypočítají pomocí vzorce (7.36):

187. Uveďte, který z indexů je obecným indexem nákladů:

4) já = ∑ Z1 Q1 / ∑ Z0 Q1;

188 Test. Které z následujících tvrzení necharakterizuje neúplné pozorování?

2) pevné;

189. Zákon „o státní statistice“ neobsahuje následující paragraf...

4) Roční statistiky.

190. Jaký je normální moment čtvrtého řádu, vezmeme-li za základ srovnání normální rozdělení?

191. Obecný výnosový index má tvar:

1) já = ∑ Y1*P1 / ∑у0*P1;

192. Které z uvedených pravidel pro tvorbu statistických tabulek nesplňuje požadavky?

3) s různými jednotkami měření nemá smysl přidělovat samostatný sloupec a také neuvádět jednotky měření ve sloupcích nebo řádcích;

193. Jak se nazývá plocha, kterou zabírají plodiny na konci jarního setí a z jakých produktů se v daném roce očekává získání?

2) jarní produkční oblast;

194. Jakým termínem lze určit výši produkce na hektar plodin?

2) produktivita;

195. Jak se určuje ukazatel bezpečnosti hospodářských zvířat?

3) poměr počtu hospodářských zvířat v oběhu k počtu uhynulých zvířat;

196. Vydělíme-li celkovou energetickou kapacitu rozlohou zemědělské půdy a vynásobíme 100, dostaneme:

2) Indikátor dodávky energie;

197. Který z následujících ukazatelů se vypočte vydělením celkového objemu práce traktorů ve standardních hektarech průměrným ročním počtem podmíněných standardních traktorů?

3) Průměrná roční produkce;

198. Která odpověď přesahuje otázku o typech indexu produktivity práce?

3) přímý, nepřímý;

199. Jak zjistit produkci celkových zemědělských produktů na 100 hektarů zemědělské půdy?

1) produkce produktů (výrobní náklady) rostlinné výroby a chovu hospodářských zvířatstvavydělte rozlohou zemědělské půdy a vynásobte výsledek 100;

200. Jaké náklady se nazývají skutečné?

1) náklady, odrážející skutečné náklady a určené na základě údajů účetnictví na konci roku;

201. Co je předmětem statistického pozorování?

1) Soubor společenských jevů a procesů, které jsou předmětem statistického sledování;

202. Přehled rozpočtů, příjmů a výdajů obyvatelstva pokrývající jednotky obyvatelstva je pozorováním:

3) průzkum hlavního masivu;

203. Jaký typ seskupení řeší problém určování vztahů příčiny a následku mezi zkoumanými charakteristikami?

3) analytické;

Test - 204. Rozdělení homogenní populace podle hodnoty proměnné charakteristiky se ve statistice provádí pomocí seskupení:

2) strukturální;

205. Relativní hodnoty struktury:

A) charakterizujte složení jevu a ukažte, jakou měrnou hmotnost tvoří každá jeho část celkem;

B) charakterizujte vztah mezi jednotlivými složkami jevu.

Relativní koordinační hodnoty:

C) charakterizujte složení jevu a ukažte, jaký podíl tvoří každá jeho část celkem;

D) charakterizujte vztah mezi jednotlivými částmi jevu.

Odpovědi: 4) b, d.

206. Série dynamiky může sestávat z:

A) z absolutních celkových hodnot;

B) z relativních a průměrných hodnot.

Odpovědi: 3) a, b;

207. Pro roky 2003 - 2005. hlavní město komerční banka navýšeno o 20 %, absolutní hodnota zvýšení o 1 % je 12 tisíc UAH. Určete kapitál banky v roce 2005 (tisíc UAH).

Odpovědi: 3) 2400;

208 Test. Jak se nazývá schopnost vzorové populace obnovit populaci?

2) Reprezentativnost;

209. Jaký vzorec zvolit pro výpočet harmonického prostého průměru?

1) XSt =N / ∑1/ X

210. Co se rozumí statistickou hypotézou?

3) Vědecký předpoklad o vlastnostech náhodných veličin, který je ověřen na základě výsledků statistického pozorování;

211. Jaké typy diagramů existují?

2) Lineární, sloupcové, páskové, obdélníkové, kruhové, sektorové, radiální, kudrnaté;

212. Variační koeficient se vypočítá takto:

1) procentuální poměr směrodatné odchylky k aritmetickému průměru;

Statistický test - 213. Podstatou analytického zarovnání je:

1) aplikace určitých analytických vyrovnávacích rovnic;

214. Jakou hodnotu má korelační koeficient, je-li spojení slabé, neuzavřené?

1) 0 ≤ R ≤ 0,2;

215. 3 pozemky pokryté přirozenou travnatou vegetací a využívané k senoseči se nazývají:

3) sena;

216. Průměrný počet zvířat se vypočítá takto:

2) vydělením součtu krmných dnů za určité období počtem dnů tohoto období;

217. Co je to užitkovost zvířat?

3) toto je průměrný výnos produktu na zvíře;

218. Ukazatel průměrné dynamiky mzdy vypočítaný podle vzorce agregovaného indexu:

2) já = ∑ X1 T1: ∑ X0 T;

219. Která oblast se nazývá jarní produktivní?

2) plocha, která zůstala na konci jarního setí;

220. Jaké produkty se nazývají komerční produkty?

1) Část hrubé produkce, která se prodává;

221. Jaká je jednotka statistického pozorování?

1) Primární prvek výzkumného objektu, který je nositelem podstatných znaků a to zejménaCmJí, které podléhají registraci;

222. Z hlediska úplnosti pokrytí pozorovacích jednotek - pozorování se děje...

3) spojitý, nesouvislý;

223. Jaká relativní hodnota charakterizuje změnu procesů a jevů v čase?

4) relativní velikost dynamiky.

224 Test statistiky. Relativní dynamika se získá porovnáním ukazatelů každého následujícího období:

A) s předchozím;

B) s originálem.

Odpovědi: 3) a, 6;

225. Dynamická řada charakterizuje:

A) struktura obyvatelstva podle nějaké charakteristiky;

B) změny charakteristik populace v čase.

Úroveň dynamické řady je:

C) určitá hodnota proměnné charakteristiky v souhrnu;

D) hodnota ukazatele k určitému datu nebo za určité období.

Odpovědi: 4) B, G;

226. Individuální index je výsledkem srovnání dvou stejnojmenných hodnot souvisejících s:

A) různá časová období;

B) různá území.

Odpovědi: 1) a;

227. Definujte korelační koeficient...

3) měřič těsnosti spojení s jednoduchým lineárním vztahem;

228. Jaký typ průměru je opce, která spadá doprostřed variační řady?

2) Medián;

229. Jaký způsob výběru vyžaduje předchozí gradaci běžné populace do kvalitativně homogenních skupin?

2) sériové;

230. Jaký vzorec se používá pro výpočet párového korelačního koeficientu?

1) R = Yx – Y* X / Gy* Gx;

231. Jednoduchý aritmetický průměr se vypočítá pomocí vzorce:

2) XAv = ∑Xi / N

232. Jaké je tempo růstu?

1) poměr každé následující úrovně k předchozí nebo k počáteční úrovni;

233. Jaký je vzorec pro všeobecný index práce?

2) já = ∑ T0 Q1: ∑ T1 Q1;

234 Test. Co jsou vklady?

1) jedná se o pozemky, které byly dříve využívány pro zemědělské plodiny. plodiny, které však již několik let nebyly zasety;

235. Jak se nazývá ukazatel, který je určen poměrem počtu telat získaných za rok pouze od krav k počtu krav na začátku roku?

3) výnos potomstva na 100 krav;

236. Průměrná produkce vajec kuřat se počítá...

2) vydělením hrubého odběru vajec (bez slepičích vajec) průměrným počtem nosnic za odpovídající období;

237. Jakými prostředky podniky proplácejí náklady na odpisy dlouhodobého majetku?

2) odpisy;

1) vydělit celkový objem práce traktorů v referenčních hektarech počtem odpracovaných traktorodnů;

239. Která oblast se nazývá semena?

1) oblast, kde byla semena zaseta;

240. Jaká produkce se nazývá hrubá?

2) produkty získané na farmě;

241. Co je předmětem statistiky jako společenské vědy?

3) kvantitativní stránka masových společenských jevů v konkrétních podmínkách místa a času;

242. Klíčivost obilí lze zjistit pozorováním...

2) selektivní;

243. Jaká relativní hodnota charakterizuje poměr plánovaného ukazatele k jiné hodnotě brané jako základ pro srovnání?

3) relativní výše plnění plánovaného cíle;

244. Distribuční řady jsou:

A) atribut;

B) variační.

Odpovědi: 3) a, b;

245 Test statistiky. Počet krav na farmách se během čtvrtletí změnil takto (hlavy):

1.01-614 1.02-588 1.03-610 1.04-620

Určete průměrný počet krav za čtvrtletí.

Odpovědi: 3) 605;

246. Za poslední rok se objemy průmyslové výroby zvýšily o 2,5%, A velkoobchodní ceny průmyslových výrobků se snížily v průměru o 1,2 %. Tempo růstu průmyslové výroby bylo %:

A) 102,5; b) 97,5;

Velkoobchodní ceny:

B) 101,2; d) 98,8.

Odpovědi: 2) a, d;

Statistický test - 247. Který vědec objevil zákon normálního rozdělení?

3) Gauss;

248. Jaké pravidlo se v praxi používá při studiu populace pro její soulad s normálním zákonem?

2) Pravidlo 3 sigma;

249. Která z následujících matematických funkcí se používá k zarovnání dynamických řad, je-li růstový (řetězový) koeficient stabilní?

3) Yt= ao*a1T;

250 Test. Vzorec pro střední čtvercovou odchylku bude vypadat takto...

2) G2 = ∑(Xi – XSt)2* Fi / ∑ Fi

Při analýze časové řady se počítají následující ukazatele:

• průměrná úroveň dynamických řad;
• absolutní růst: řetězový a základní, průměrný absolutní růst;
• míry růstu: řetězec a základ, průměrná míra růstu;
• míry růstu: řetězové a základní, průměrné tempo růstu;
• absolutní hodnota jednoprocentního nárůstu.

Řetězové a základní ukazatele jsou počítány tak, aby charakterizovaly změny v úrovních dynamické řady a liší se od sebe svými porovnávacími bázemi: řetězové indikátory jsou počítány ve vztahu k předchozí úrovni (variabilní srovnávací základna), základní ukazatele jsou počítány ve vztahu k jako srovnávací základna (konstantní srovnávací základna).

Průměrné ukazatele představují zobecněné charakteristiky řady dynamik. S jejich pomocí se porovnává intenzita vývoje jevu ve vztahu k různým objektům, například zemím, průmyslům, podnikům atd., nebo časovým obdobím.

9.2.1. Průměrná úroveň řady dynamiky

Nazývá se konkrétní číselná hodnota statistického ukazatele vztahující se k okamžiku nebo časovému období úroveň řádku dynamiky a je označena y já (kde i- ukazatel času).

Způsob výpočtu průměrné úrovně závisí na typu časové řady, konkrétně: zda je okamžitá nebo intervalová, se stejnými nebo nestejnými časovými intervaly mezi sousedními daty.

Pokud je uvedena intervalová řada dynamiky absolutních nebo průměrných hodnot se stejnými časovými obdobími, pak se pro výpočet průměrné úrovně použije jednoduchý aritmetický průměrný vzorec:

kde y 1, y 2, y i, ..., y n - úrovně dynamické řady;

n je počet úrovní série.

Příklad 9.2. Podle tabulky určíme průměrnou měsíční výši pojistného plnění vypláceného pojišťovnou na jeden poškozený předmět za šest měsíců:

Pokud jsou časové intervaly intervalové časové řady nestejné, pak se hodnota průměrné úrovně zjistí pomocí vzorce váženého aritmetického průměru, ve kterém se jako váhy použije délka časových úseků odpovídající úrovním časové řady (t i).

Příklad 9.3. Na základě údajů uvedených v tabulce určíme průměrnou měsíční výši pojistného plnění vypláceného pojišťovnou na jeden poškozený předmět:

V momentových řadách dynamiky se stejnými časovými intervaly mezi daty se průměrná úroveň řady vypočítá pomocí vzorce pro průměrný chronologický jednoduchý

kde y n jsou hodnoty ukazatele na konci sledovaného období.

Příklad 9.4. Podle údajů o velikosti níže Peníze na účet vkladatele na začátku každého měsíce určíme průměrná velikost vklady v prvním čtvrtletí roku 2006:

Průměrná úroveň momentové řady dynamiky se rovná:

Přestože první čtvrtletí zahrnuje tři měsíce (leden, únor, březen), je nutné při výpočtu použít čtyři úrovně řady (včetně údajů k 1. dubnu). To se dá snadno dokázat. Pokud spočítáme průměrné úrovně podle měsíce, dostaneme:

v lednu

v únoru

Vypočtené průměry tvoří intervalovou řadu dynamiky se stejnými časovými intervaly, ve kterých se průměrná úroveň vypočítává, jak jsme viděli výše, pomocí jednoduchého vzorce aritmetického průměru:

Podobně, pokud chcete vypočítat průměrnou úroveň momentové řady dynamiky se stejnými intervaly mezi daty za první polovinu roku, pak jako poslední úroveň ve vzorci pro průměrný chronologický výpadek byste měli vzít data za 1. července, a pokud za rok, tak údaje za 1. leden příštího roku.

V momentové řadě dynamiky s nestejnými intervaly mezi daty se k určení průměrné úrovně používá vzorec chronologického váženého průměru:

kde t i je délka časového období mezi dvěma sousedními daty.

Příklad 9.5. Na základě údajů o zásobách zboží na začátku měsíce určíme průměrnou velikost inventář v roce 2006

Tabulka 9.9.

datum	01.01.06	01.02.06	01.03.06	01.07.06	01.09.06	01.12.06	01.01.07
Zásoby zboží, tisíce rublů.	1 320	1 472	1 518	1 300	1 100	1 005	920

Průměrná úroveň seriálu je:

Vzdálenost mezi daty

Pokud existují úplné informace o hodnotách okamžitého statistického ukazatele pro každé datum, pak se průměrná hodnota tohoto ukazatele za celé období vypočítá pomocí vzorce váženého aritmetického průměru:

kde y i - hodnoty indikátoru

t i je délka období, po které zůstala tato hodnota statistického ukazatele nezměněna.

Doplníme-li příklad 9.4 o informace o datech změn peněžních prostředků na účtu vkladatele v prvním čtvrtletí roku 2006, získáme:

• hotovostní zůstatek k 1. lednu - 132 000 rublů;
• Vydáno v lednu - 19 711 rublů;
• 28. ledna uloženo - 35 000 rublů;
• 20. února uloženo - 2000 rublů;
• 24. února uloženo - 2581 rublů;
• Vydáno 3. března - 3370 rublů. (k žádným dalším změnám v březnu nedošlo).

Takže od 1. ledna do 4. ledna (čtyři dny) zůstala hodnota ukazatele rovna 132 000 rublům, od 5. ledna do 27. ledna (23 dní) byla jeho hodnota 112 289 rublů, od 28. ledna do 19. února (23 dní) - 147 289 rublů, od 20. do 23. února (čtyři dny) - 149 289 rublů, od 24. února do 2. března (sedm dní) - 151 870 rublů, od 3. do 31. března (29 dní) - 148 500 rublů. Pro usnadnění výpočtů uvádíme tyto údaje v tabulce:

Tabulka 9.10.

Délka období, dny	4	23	23	4	7	29
Hotovostní zůstatek, rub.	132 00	112 289	147 289	149 289	151 879	148 500

Pomocí vzorce váženého aritmetického průměru zjistíme hodnotu průměrné úrovně řady

Jak vidíte, průměrná hodnota se liší od hodnoty získané v příkladu 9.4, je přesnější, protože při výpočtech byly použity přesnější informace. V příkladu 9.4 byla známa pouze data na začátku každého měsíce, ale nebylo specifikováno, kdy přesně došlo ke změnám v ukazateli, byl použit vzorec chronologického průměru.

Závěrem poznamenáváme, že výpočet průměrné úrovně řady ztrácí analytický význam v případech velké variability ukazatele v rámci řady, stejně jako v případech prudké změny směru vývoje jevu.

9.2.2. Ukazatele absolutních změn úrovní časových řad

Absolutní nárůsty se počítají jako rozdíl mezi dvěma hodnotami sousedních úrovní dynamické řady (řetězcové nárůsty) nebo jako rozdíl mezi hodnotami aktuální úrovně a úrovní branou jako základ pro srovnání (základní nárůsty). Ukazatele absolutního růstu mají stejné jednotky měření jako úrovně časové řady. Ukazují, o kolik jednotek se indikátor změnil během přechodu z jednoho okamžiku nebo časového období do druhého.

Základní absolutní přírůstky se vypočítají pomocí vzorce

kde jsi - i-tý proudúroveň řádku,

y 1 - první úroveň řady dynamiky, braná jako základ pro srovnání.

Vzorec pro stanovení řetězcových absolutních přírůstků má tvar

kde i - 1 je úroveň předcházející i-té úrovni dynamické řady.

Průměrný absolutní růst ukazuje, kolik jednotek v průměru měsíčně, čtvrtletně, nebo ročně atd. hodnota ukazatele se během sledovaného období změnila. V závislosti na tom, jaké údaje máme, je lze vypočítat následujícími způsoby:

Příklad 9.6. Pomocí tabulkových údajů určíme ukazatele absolutních nárůstů výše pojistného plnění vypláceného pojišťovnou.

* Součet všech vypočtených řetězových absolutních přírůstků dává základní absolutní přírůstky za poslední období.

Průměrný měsíční absolutní nárůst za pololetí je roven

V průměru se tak měsíční výše plateb pojistné náhrady zvýšila o 1,2 tisíce rublů.

9.2.3. Ukazatele relativních změn úrovní časových řad

Charakteristikou relativní změny úrovní řady dynamiky jsou koeficienty a rychlosti růstu hodnot ukazatelů a rychlost jejich růstu.

Koeficient růstu je poměr dvou úrovní časové řady, vyjádřený jako jednoduchý násobný poměr. Ukazuje, kolikrát se hodnota ukazatele změnila v jednom časovém období (bodu) v porovnání s jiným. Tempo růstu je tempo růstu vyjádřené v procentech. Ukazuje, v jakém procentu je hodnota ukazatele v daném období, je-li úroveň, se kterou se srovnává, brána jako 100 %.

Stejně jako absolutní nárůsty mohou být růstové koeficienty a sazby řetězové a základní.

Koeficient řetězce a rychlost růstu měří relativní změnu aktuální úrovně ukazatele ve srovnání s jeho předchozí úrovní:

růstový faktor:

tempo růstu:

Základní koeficient a tempo růstu charakterizují relativní změnu aktuální úrovně ukazatele oproti základní (nejčastěji první) úrovni:

tempo růstu

tempo růstu

Řetězový a základní růstový koeficient mají mezi sebou následující vztah:

Průměrná rychlost růstu a koeficient růstu v časových řadách s rovnoměrně rozmístěnými úrovněmi jsou vypočteny pomocí jednoduchého geometrického průměru

Řetězcové růstové faktory;

- rychlost růstu řetězce.

Tyto vzorce lze zredukovat do následující podoby:

Aby bylo možné určit, jaké procento současná úroveň je větší nebo menší než hodnota předchozí nebo základní úrovně, vypočítá se tempo růstu. Vypočítají se odečtením 100 % od odpovídajících temp růstu:

Průměrná míra růstu se vypočítá podobným způsobem: 100 % se odečte od průměrné míry růstu:

Příklad 9.7. V tabulce jsou uvedeny vypočtené růstové koeficienty, tempa růstu a přírůstky ukazatele charakterizujícího průměrnou měsíční výši pojistného plnění vypláceného společností za období leden až červen.

Dynamická řada je řada čísel, která charakterizují změny sociálního jevu v průběhu času. Hodnoty ukazatelů, které tvoří dynamickou řadu, se nazývají úroveň řady.

Pro obecné charakteristikyúrovně jevu za dané období se vypočítá průměrná úroveň řady. Metoda výpočtu průměrné úrovně řady závisí na povaze řady. Existují momentové a intervalové dynamické řady.

Momentová řada je řada, která je tvořena indikátory charakterizujícími stav jevu v určitém časovém okamžiku.

Intervalová řada dynamiky je řada, která je tvořena indikátory charakterizujícími jev za určité časové období.

Průměrná úroveň intervalové řady je určena vzorcem:

kde n je počet členů dynamické řady.

Průměrná úroveň momentové řady je určena průměrným chronologickým vzorcem:

Absolutní nárůst ukazuje, o kolik jednotek se analyzovaná úroveň řady zvýšila (nebo snížila) vůči základní úrovni (podle základního schématu) nebo úrovni předchozího roku (podle řetězového schématu). Podle toho se určuje podle vzorců:

(podle základního schématu),

(podle řetězového diagramu).

Tempo růstu ukazuje, kolikrát se analyzovaná úroveň řady zvýšila (nebo snížila) ve srovnání s úrovní branou jako základ pro srovnání (podle základního schématu) nebo s předchozí úrovní (podle řetězového schématu). Rychlost růstu se vyjadřuje v procentech nebo abstraktních číslech (koeficient růstu). Je určeno vzorcem:

(podle základního schématu),

(podle řetězového diagramu).

Tempo růstu ukazuje, o kolik procent se analyzovaná úroveň série zvýšila (nebo snížila) ve srovnání se základní (podle základního schématu) nebo předchozí úrovní série (podle řetězového schématu). Je definován jako poměr absolutního růstu k úrovni brané jako základ pro srovnání pomocí vzorců:

(podle základního schématu),

(podle řetězového diagramu).

Míry růstu a zisku jsou vzájemně propojeny, jak je vidět ze vzorců pro jejich výpočet:

To umožňuje určit rychlost růstu pomocí rychlosti růstu:

Průměrné tempo růstu a průměrné tempo růstu charakterizují růst a tempo růstu za období jako celek. Průměrná rychlost růstu se vypočítá z údajů z řady dynamiky pomocí vzorce geometrického průměru:

kde je počet koeficientů růstu řetězce.

Na základě poměru temp růstu a růstu se určí průměrné tempo růstu:

Absolutní hodnota jednoho procenta růstu A je poměr absolutního růstu řetězce k rychlosti růstu řetězce vyjádřený v procentech. Je určeno vzorcem:

Jak je z výpočtu patrné, absolutní hodnota jednoho procenta růstu je rovna 0,01 předchozí úrovně.

Pomocí řady dynamik jsou studovány jevy, které mají sezónní charakter. Sezónní výkyvy jsou stabilní meziroční výkyvy v řadě dynamiky, způsobené specifickými podmínkami výroby, spotřeby nebo prodeje výrobků nebo služeb. Například spotřeba paliva nebo elektřiny pro domácí potřeby, přeprava cestujících, prodej zboží atd.

Úroveň sezónnosti se hodnotí pomocí indexů sezónnosti. Index sezónnosti ukazuje, kolikrát je skutečná úroveň série v daném okamžiku nebo časovém intervalu větší než průměrná úroveň. Je určeno vzorcem:

kde je úroveň sezónnosti;

Aktuální úroveň řady dynamiky;

Průměrná úroveň řádku.

Graficky lze index sezónnosti znázornit pomocí polygonu – hlavního typu grafů používaných ke grafickému znázornění dynamických řad.

Úkol 3

Podle tabulky 2 vypočítejte:

1. Hlavní analytické ukazatele dynamických řad (podle řetězových a základních schémat):

Absolutní nárůst;

Rychlosti růstu;

Tempo růstu;

Absolutní hodnota zvýšení o 1 %.

2. Průměrné ukazatele:

Průměrná úroveň řady dynamiky;

Průměrná roční míra růstu;

Průměrná roční míra růstu.

Stůl 2 Klíčové indikátory

3. Na základě údajů v tabulce 3 vypočítejte index sezónnosti a graficky znázorněte sezónní vlnu.

Stůl 3 Obrat obchodu, tisíc rublů.

Absolutní nárůst

Podle základního schématu

Podle schématu řetězu

Spočítejme tempo růstu

Podle základního schématu

Podle schématu řetězu

Vypočítejme tempo růstu:

Podle základního schématu

Podle schématu řetězu

Vypočítejme průměrnou rychlost růstu

Obecně se během období životní náklady zvýšily na 128,35 %.

Vypočítejme průměrnou rychlost růstu

Závěr: Obecně platí, že během období nárůst existenční minimumčinil 28,35 %.

Vypočítejme absolutní hodnotu jednoprocentního nárůstu

Stůl 4 Hlavní analytické ukazatele řady dynamiky

Ukazatele	Schéma výpočtu
Úroveň řádku Y i
Absolutní nárůst?Y	Základní
Tempo růstu T r,%	Základní
Tempo růstu T pr, %	Základní
Ab. Význam 1% nárůst A

Pojďme vypočítat sezónní indexy

Stůl 5 Konečné výpočty indexu

Pojďme si znázornit vlnu sezónnosti

Obr. 1

Od začátku roku začínají tržby postupně klesat, ale po polovině opět rostou. Obchodní obrat vrcholí v lednu a minima dosahuje v srpnu.

Jedním z nejdůležitějších úkolů statistiky je studium změn analyzovaných ukazatelů v čase, tedy jejich dynamika. Tento problém je řešen pomocí analýzy dynamická řada(časové řady).

Dynamická řada (nebo časová řada) - jedná se o číselné hodnoty určitého statistického ukazatele v po sobě jdoucích okamžicích nebo časových obdobích (tj. uspořádané v chronologickém pořadí).

Nazývají se číselné hodnoty jednoho nebo druhého statistického ukazatele, který tvoří dynamickou řadu úrovně série a bývá označen písmenem y. První termín série y 1 tzv. počáteční příp základní úroveň, a poslední y n - finále. Okamžiky nebo časové úseky, ke kterým se úrovně vztahují, jsou označeny t.

Dynamické řady jsou obvykle prezentovány ve tvaru nebo a časové měřítko je konstruováno podél osy x t, a podél ordináty - měřítko úrovní řady y.

Příklad dynamické řady

Stůl. Počet obyvatel Ruska v letech 2004-2009. v milionech lidí, k 1. lednu
Graf dynamiky počtu obyvatel Ruska v letech 2004-2009. v milionech lidí, k 1. lednu

Údaje jasně ilustrují každoroční pokles počtu obyvatel Ruska v letech 2004-2009.

Typy dynamických řad

Dynamika série klasifikovaný podle následujících hlavních charakteristik:

1. Časem — momentové a intervalové řady (periodické), které ukazují úroveň jevu v určitém časovém okamžiku nebo za určité období. Součet úrovní intervalové řady dává velmi reálnou statistickou hodnotu za několik časových období, například celkový výkon, celkový počet prodaných akcií atd. Přestože lze úrovně momentové řady shrnout, tento součet zpravidla nemá reálný obsah. Pokud tedy sečtete hodnoty zásob na začátku každého měsíce čtvrtletí, výsledná částka neznamená čtvrtletní hodnotu zásob.
2. Podle formy prezentace — řada absolutních, relativních a průměrných hodnot.
3. Podle časových intervalů — řádky jednotné a nerovnoměrné (úplné a neúplné), z nichž první má stejné intervaly, zatímco druhý nemá stejné intervaly.
4. Podle počtu sémantických statistických veličin — izolované a komplexní série (jednorozměrné a vícerozměrné). První představují řadu dynamiky jedné statistické hodnoty (například index inflace) a druhé - několik (například spotřeba základních potravinářských výrobků).

V naší řadě dynamiky: 1) moment (úrovně jsou uvedeny k 1. lednu); 2) absolutní hodnoty (v milionech lidí); 3) jednotné (stejné intervaly 1 roku); 4) izolovaný.

Indikátory změn úrovní řady dynamiky

Analýza časových řad začíná přesným stanovením toho, jak se úrovně řady mění (rostou, snižují nebo zůstávají nezměněny) v absolutním a relativním vyjádření. Aby bylo možné sledovat směr a velikost změn úrovní v průběhu času, je pro série vypočítána dynamika indikátory změn úrovní řady dynamiky:

• absolutní změna (absolutní nárůst);
• relativní změna (rychlost růstu nebo index dynamiky);
• rychlost změny (rychlost růstu).

Všechny tyto ukazatele lze určit základní způsobem, kdy se úroveň daného období porovnává s prvním (základním) obdobím, popř řetěz způsobem - když se porovnávají dvě úrovně sousedních období.

Základní absolutní změna představuje rozdíl mezi konkrétní a první úrovní řady, určený vzorcem

i-tato perioda je větší nebo menší než první (základní) úroveň, a proto může mít znaménko „+“ (při zvýšení úrovně) nebo „-“ (při snížení úrovně).

Absolutní změna řetězu představuje rozdíl mezi konkrétní a předchozí úrovní řady, určený vzorcem

Ukazuje, jak moc (v jednotkách ukazatelů řady) je úroveň jedné ( i-to) období je větší nebo menší než předchozí úroveň a může mít znaménko „+“ nebo „-“.

Ve sloupci 3 jsou vypočteny základní absolutní změny a ve sloupci 4 jsou vypočteny řetězové absolutní změny.

Rok	y					, %	,%
2004	144,2
2005	143,5	-0,7	-0,7	0,995	0,995	-0,49	-0,49
2006	142,8	-1,4	-0,7	0,990	0,995	-0,97	-0,49
2007	142,2	-2,0	-0,6	0,986	0,996	-1,39	-0,42
2008	142,0	-2,2	-0,2	0,985	0,999	-1,53	-0,14
2009	141,9	-2,3	-0,1	0,984	0,999	-1,60	-0,07
Celkový			-2,3		0,984		-1,60

Mezi základními a řetězovými absolutními změnami dochází vztah: součet řetězcových absolutních změn je roven poslední základní změně, tzn

.

Naše potvrzuje správnost výpočtu absolutních změn: = - 2,3 je vypočítáno na posledním řádku 4. sloupce a = - 2,3 - v předposledním řádku 3. sloupce.

Základní relativní změna (základní rychlost růstu nebo základní index hybnosti) představuje poměr specifické a první úrovně řady, určený vzorcem

Relativní změna řetězce (rychlost růstu řetězce nebo index dynamiky řetězce) představuje poměr konkrétní a předchozí úrovně řady, určený vzorcem

.

Relativní změna ukazuje, kolikrát je úroveň daného období vyšší než úroveň jakéhokoli předchozího období (s i>1) nebo jaká jeho část je (s i<1). Относительное изменение может выражаться в виде koeficienty, tedy jednoduchý násobný poměr (pokud se srovnávací základ bere jako jedna), a v procent(pokud je srovnávací základ brán jako 100 jednotek) vynásobením relativní změny 100 %.

V našem sloupci 5 obsahuje základní relativní změny a sloupec 6 obsahuje řetězové relativní změny.

Mezi základními a řetězovými relativními změnami existuje vztah: součin řetězových relativních změn se rovná poslední základní změně, tzn

V našem příkladu o počtu obyvatel Ruska je potvrzena správnost výpočtu relativních změn: = 0,995 * 0,995 * 0,996 * 0,999 * 0,999 = 0,984 - vypočteno podle údajů v 6. sloupci a = 0,984 - v předposlední řádek 5. sloupce.

Rychlost změny(rychlost růstu) úrovní - relativní ukazatel ukazující, o kolik procent je daná úroveň větší (nebo menší) než jiná, braný jako základ pro srovnání. Vypočítá se odečtením 100 % od relativní změny, tedy pomocí vzorce:

,

Nebo jako procento absolutní změny k úrovni, se kterou se absolutní změna počítá (základní úroveň), tedy podle vzorce:

.

V našem sloupci 7 jsou uvedeny základní míry změny a ve sloupci 8 jsou uvedeny řetězové sazby. Všechny výpočty naznačují roční pokles počtu obyvatel v Rusku za období 2004-2009.

Průměrné ukazatele řady dynamiky

Každou sérii dynamiky lze považovat za určitou množinu nčasově proměnné ukazatele, které lze shrnout jako průměry. Takové zobecněné (průměrné) ukazatele jsou zvláště nutné při srovnávání změn určitého ukazatele v různých obdobích, v různých zemích atd.

Zobecněná charakteristika řady dynamiky může sloužit především úroveň střední řady. Způsob výpočtu průměrné úrovně závisí na tom, zda je řada okamžitá nebo intervalová (periodická).

Když intervalřady, jeho průměrná úroveň je určena vzorcem z úrovní řady, tzn.

=
Pokud je k dispozici momentřádek obsahující núrovně ( y1,y2, …, yn) S rovnat se intervaly mezi daty (časy), pak lze takovou řadu snadno převést na řadu průměrných hodnot. V tomto případě je ukazatel (úroveň) na začátku každého období současně ukazatelem na konci předchozího období. Pak lze průměrnou hodnotu ukazatele pro každé období (interval mezi daty) vypočítat jako polovinu součtu hodnot na na začátku a na konci období, tzn. Jak . Počet takových průměrů bude . Jak bylo uvedeno dříve, pro řady průměrných hodnot se průměrná hladina vypočítává pomocí aritmetického průměru. Proto můžeme psát
.
Po transformaci čitatele dostaneme
,

Kde Y1 A Yn— první a poslední úroveň řádku; Yi— střední úrovně.

Tento průměr je ve statistikách znám jako průměrně chronologické pro momentové série. Svůj název dostal od slova „cronos“ (čas, latina), protože se vypočítává z ukazatelů, které se v čase mění.

Když nerovný intervalech mezi daty lze chronologický průměr pro momentovou řadu vypočítat jako aritmetický průměr průměrných hodnot úrovní pro každou dvojici momentů, vážený vzdálenostmi (časovými intervaly) mezi daty, tzn.
.
V tomto případě se předpokládá, že v intervalech mezi daty nabývaly úrovně různých hodnot a my jsme jedním ze dvou známých ( yi A yi+1) určíme průměry, ze kterých pak vypočteme celkový průměr za celé analyzované období.
Pokud se předpokládá, že každá hodnota yi zůstává nezměněn až do dalšího (i+ 1)- okamžik, tj. Pokud je známo přesné datum změny úrovní, lze výpočet provést pomocí vzorce váženého aritmetického průměru:
,

Kde je doba, po kterou se hladina nezměnila.

Kromě průměrné úrovně v řadě dynamiky se počítají další průměrné ukazatele - průměrná změna úrovní série(základní a řetězové metody), průměrná rychlost změny.

Základní čára znamená absolutní změnu je podíl poslední základní absolutní změny dělený počtem změn. To znamená

Řetězec znamená absolutní změnuúrovně řady je kvocient dělení součtu všech absolutních změn řetězce počtem změn, tzn.

Znak průměrných absolutních změn se také používá k posouzení povahy změny jevu v průměru: růst, pokles nebo stabilita.

Odečtením 1 od základní nebo řetězové průměrné relativní změny, odpovídající průměrný rychlost změny, podle jehož znamení lze také usuzovat na povahu změny zkoumaného jevu, která se odráží v této řadě dynamiky.