Моментный и интервальный ряд динамики пример. Ряды динамики, их значение. Виды рядов динамики: моментальный и интервальный. Динамические ряды абсолютных и относительных величин, средних величин. Средние значения показателей рядов динамики

Обобщающая характеристика динамики исследуемого явления определяется при помощи следующих средних показателей: средний уровень ряда, средний тема роста, средний темп прироста .

Средний уровень ряда характеризует обобщенную величину абсолютных уровней ряда.

Для интервальных рядов динамики средний уровень определяется:

а) при равных интервалах по формуле средней арифметической простой (7.18):

где y 1 …y n - абсолютные уровни ряда;

n - число уровней.

Например, средний уровень для интервального ряда динамики , приведенного в п. 7.1, составляет 935 млн. руб.

б) при неравных интервалах по формуле средней арифметической взвешенной (7.19):

где t - длительность интервалов времени между уровнями ряда.

Средний уровень моментных рядов динамики определяется:

а) для ряда с равноотстоящими датами по формуле средней хро-нологической простой (7.20):

Пример, средний уровень для моментного ряда динамики, приведенного в п.7.1, составляет 195 чел.

б) для ряда с неравноотстоящими датами по формуле средней хронологической взвешенной (7.21):

Средний абсолютный прирост рассчитывается двумя способами:

а) цепным (исходя из цепных абсолютных приростов) (7.22):

где m - число абсолютных приростов (m = n - 1, n - число членов ряда);

б) базисным (исходя из общего базисного абсолютного прироста) (7.23):

Для нашего моментного ряда динамики средний абсолютный прирост, рассчитанный цепным способом, составляет 2 чел.:

Расчет базисным способом дает тот же результат . Таким способом прирост численности за квартал в среднем составляет 2 чел.

Средний коэффициент роста для рядов с равными интервалами, или с равноотстоящими датами , рассчитывается :

а) цепным способом (по формуле средней геометрической) (7.24):

где m - число коэффициентов роста (m = n - 1);

б) базисным способом (7.25):

Средний темп роста для рядов с равными интервалами, равноотстоящими датами , рассчитывается по формуле (7.26):

Средний коэффициент роста для рассматриваемого ряда составляет , т.е. рост численности в среднем за квартал 101,03%.

Средине темпы (коэффициенты) прироста рассчитываются на основе средних темпов или коэффициентов роста посредством вычитания из последних 100% или 1 (7,27 и 7,28):

Средний темп прироста для нашего примера составляет 1,03% (101,03%-100%).

При одновременном анализе динамики двух явлений представ-ляет интерес сравнение интенсивности изменения их во времени. Та-кое сопоставление производится при наличии динамических рядов одинакового содержания, но относящихся к различным территориям или объектам, либо при сравнении рядов разного содержания, харак-теризующих один и тот же объект. Сравнение интенсивности измене-ний уровней рядов во времени возможно с помощью коэффициентов опережения , представляющих собой отношение базисных темпов роста или прироста двух рядов динамики за одинаковые отрезки вре-мени (7,29) и (7,30):

Например, темп роста объемов производства на предприятии в отчетном году составил 126%, а темп роста численности -120%. Таким образом, темп роста объемов производства в отчетном году опережал рост численности на предприятии в 1,05 раза (126/120).

Коэффициент опережения может быть исчислен также на осно-ве сравнения средних темпов роста или темпов прироста:

Методы анализа основной тенденции ряда динамики

Основной тенденцией ряда динамики (или трендом) называ-лся устойчивое изменение уровня явления во времени, обусловленное влиянием постоянно действующих факторов и свободное от случайных колебаний.

В случаях, когда уровни динамического ряда непрерывно растут или непрерывно снижаются, основная тенденция ряда является очевидной. Однако достаточно часто уровни динамических рядов претерпевают различные изменения (т. е. то растут, то убывают), и общая тенденция неясна. Задача статистики заключается в выявлении тенденции в таких рядах. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

Укрупнение интервалов является наиболее простым методом. Он основан на увеличении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики. Одновременно уменьшается количество ин-тервалов. Рассмотрим применение этого метода на примере ежемесячных данных о выпуске продукции предприятия.

Различные направления изменения уровней ряда по отдельным месяцам затрудняют выводы об основной тенденции производства продукции. Однако если месячные уровни объединить в квартальные, после чего вычислить среднемесячный выпуск продукции по кварта-лам, то тенденция становится очевидной.

5,23 < 5,57 < 5,87 < 6,03.

Таким образом, динамический ряд обнаруживает тенденцию к росту.

Метод скользящей средней заключается в следующем. Опреде-ляется средний уровень из определенного объема нечетного числа первых по счету уровней ряда, а затем из того же числа уровней, но начиная со второго по счету. Затем с третьего и так далее. Таким образом, средняя скользит по ряду динамики, передвигаясь на один уровень. Примечание этого метода рассмотрим на примере производительности труда на предприятии.

Год	Годовая выработка продукции на одного рабочего, т	Скользящая средняя
трехчленная	пятичленная
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999	15,4 14,0 17,6 15,4 10,9 17,5 15,0 18,5 14,2 14,9	- (15,4 + 14,0 + 17,6) : 3 = 15,7 (14,0 + 17,6 + 15,4) : 3 = 15,4 14,6 14,6 14,5 17,0 15,9 15,9 -	- - 14,7 15,1 15,2 17,1 16,8 17,6 - -

Ряд, сглаженный пятичленными средними, уже позволяет го-ворить о тенденции к росту производительности труда на предпри-ятии. Недостаткам метода является потеря информации, связанная с укорачиванием ряда

Рассмотренные методы дают возможность определить общую тенденцию изменения уровней ряда динамики. Однако они не позволяют получить обобщенную статистическую модель тренда. С этой целью применяют метод аналитического выравнивания рядов ди-намики. Основным содержанием метода является то, что общая тен-денция развития представляется как функция времени:

Где - уровень динамического ряда, вычисленный по соответствую-щему уравнению на момент времени t .

Определение теоретических уровней ряда динамики произво-дится на основе так называемой адекватной математической модели, наилучшим образом отображающей основную тенденцию.

Простей-шими моделями для отображения социально-экономических процес-сов являются следующие:

Линейная

Показательная

Степенная

Парабола

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов.

Параметры уравнения, удовлетворяющие этому условию, Могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе полученного уравнения тренда вычисляются теоретические уровни. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней y плавно изменяющимися теоретическими уровнями.

Для окончательного выбора вида адекватной математической функции используются специальные критерии математической стати-стики (критерий x 2 , Колмогорова - Смирнова и другие).

Методы изучения сезонных колебаний

При сравнении квартальных и месячных данных многих соци-ально-экономических явлений часто обнаруживаются периодические колебания , возникающие под влиянием смены времени года. Они яв-ляются результатом влияния природно-климатических условий, обще-экономических факторов, а также других многочисленных и разнооб-разных факторов, которые часто являются регулируемыми.

В статистике периодические колебания, которые имеют опреде-ленный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название сезонных колебаний или сезонной волны, а динамический ряд в этом случае называется сезонным рядом динамики. Сезонные колебания наблюдаются в различных отраслях экономики, в том чис-ле в отраслях химико-лесного комплекса. В ряде случаев они могут отрицательно влиять на результаты производственной деятельности. Поэтому встает вопрос о регулировании сезонных изменений. В осно-ве этого регулирования должно лежать исследование сезонных ко-лебаний.

В статистике существует ряд методов изучения и измерения се-зонных колебаний. Самый простой из них заключается в расчете спе-циальных показателей, называемых индексами сезонности I s . Совокупность этих показателей отражает сезонную волну.

Для того чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года, индексы сезонных колебаний вычисляются по данным за несколько лат (не менее трех).

Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенден-ция в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредствен-но по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания.

Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например, за три года (), затем вычисляется среднемесячный уро-вень для всего ряда (). После этого определяются индексы сезонно-сти, представляющие собой процентные отношения средних для каж-дого месяца к общему среднемесячному уровню ряда (7,35):

Пример. Имеются помесячные данные об объеме продаж предприятием стеновых материалов, млн. шт. условного кирпича. Требуется рассчитать индексы сезонности.

Месяц	Объем продаж, млн. шт.	I s , %
2000	2001	2002	Средне- месячный уровень
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	10,2 15,2 17,3 19,4 21,2 26,1 28,3 21,4 22,1 14,6 9,5 12,4	9,7 16,1 14,8 22,7 25,4 28,2 25,8 23,3 20,7 15,2 8,6 12,9	11,8 14,4 15,6 16,5 29,1 25,2 23,5 23,6 28,2 26,3 13,3 14,6	10,6 15,2 15,9 19,5 25,2 26,5 25,6 22,8 20,3 15,4 10,5 13,3	57,6 82,5 86,3 105,9 136,8 143,9 140,6 123,8 110,2 83,6 57,0 72,2
ИТОГО	217,7	223,4	221,1	221,1	1200,4
В среднем	18,14	18,61	18,51	18,42	100,0

Для наглядности сезонную волну изображают в виде графика.

Имея представления о сезонных изменениях того или иного явления, предприятие может правильно распределять материальные, финансовые и трудовые ресурсы в течение года,

В случае, когда уровни динамического ряда проявляют тенденцию к росту или снижению, фактические данные сопоставляются с выравненными, т. е, полученными с помощью аналитического выравнивания. Индексы сезонности рассчитываются по формуле (7,36):

187. Укажите, какой из индексов является общим индексом себестоимости:

4) I = ∑ Z 1 Q 1 / ∑ Z 0 Q 1;

188 Тест. Какое из приведенных ниже положений не дает характеристику несплошному наблюдению?

2) Сплошное;

189. В Законе «О государственной статистке» не включается следующий раздел...

4) Ежегодные статистические данные.

190. Чему равен нормальный момент четвёртого порядка, если за базу сравнения принимается нормальное распределение?

191. Общий индекс урожайности имеет вид:

1) I = ∑ Y 1*П1 / ∑у0*П1;

192. Какое из перечисленных правил построения статистических таблиц не отвечает требованиям?

3) при разных единицах измерения отводить отдельную графу нет смысла, а также не указывать единицы измерения по графам или строкам;

193. Как называется площадь, которая занята посевами к моменту окончания весеннего сева, и с которой в данном году предполагается получить продукцию?

2) весенняя продуктивная площадь;

194. .Каким термином можно определить количество продукции с гектара посева?

2) урожайность;

195. Как определяется показатель сохранности скота?

3) отношение поголовья скота в обороте к числу павших и погибших животных;

196. Если суммарную энергетическую мощность разделить на размер площади с/х угодий и умножить на 100, то получим:

2) Показатель энергообеспеченности;

197. Какой из перечисленных показателей рассчитывается делением общего объема выполненных тракторами работ в эталонных гектарах на среднегодовое кол-во условных эталонных тракторов?

3) Среднегодовая выработка;

198. Какой из ответов выходит за рамки вопроса о видах индекса производительности труда?

3) прямой, косвенный;

199. Как определить производство продукции всего по хозяйству на 100 га с/х угодий?

1) производство продукции (стоимость продукции) растениеводства и животновод ства разделить на площадь с/х угодий и результат умножить на 100;

200. Какая себестоимость называется фактической?

1) себестоимость, отражающая фактические затраты и определяющаяся по данным бухгалтерского учета в конце года;

201. Что является объектом статистического наблюдения?

1) Совокупность общественных явлений и процессов, которые подлежат статистическому наблюдению;

202. Обследование бюджетов, доходов, расходов населения по охвату единиц совокупности является наблюдением:

3) обследованием основного массива;

203. Каким видом группировок решается задача по определению причинно-следственных связей между исследуемыми признаками?

3) Аналитическими;

Тест - 204. Расчленение однородной совокупности по величине варьирующего признака проводится в статистике при помощи группировок:

2) структурных;

205. Относительные величины структуры:

А) характеризуют состав явления и показывают, какой удельный вес в общем итоге составляет каждая его часть;

Б) характеризуют соотношение отдельных составных частей явления.

Относительные величины координации:

В) характеризуют состав явления и показывают, какой удельный вес в общем итоге составляет каждая его часть;

Г) характеризуют соотношение отдельных частей явления.

Ответы: 4) б, г.

206. Ряд динамики может состоять:

А) из абсолютных суммарных величин;

Б) из относительных и средних величин.

Ответы: 3) а, б;

207. За 2003 - 2005 гг. капитал коммерческого банка увеличился на 20%, абсолютное значение 1% прироста - 12 тыс. грн. Определите капитал банка в 2005 году (тыс. грн).

Ответы: 3) 2400;

208 Тест. Как называют способность выборочной совокупности возобновлять генеральную совокупность?

2) Репрезентативность;

209. Какую формулу необходимо выбрать, чтобы рассчитать среднюю гармоническую простую?

1) X Ср = N / ∑1/ X

210. Что понимается под статистической гипотезой?

3) Научное предположение о свойствах случайных величин, которое проверяется по результатам статистического наблюдения;

211. Какие существуют виды диаграмм?

2) Линейные, столбиковые, ленточные, прямоугольные, круговые, секторные, радиальные, фигурные;

212. Коэффициент вариации рассчитывается как:

1) процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической;

Тест по статистике - 213. Сущность аналитического выравнивания заключается в:

1) применении тех или иных уравнений аналитического выравнивания;

214. Какова величина коэффициента корреляции, если связь слабая, не тесная?

1) 0 ≤ R ≤ 0,2;

215. 3емельныеучастки, покрытые естественной травянистой растительностью и используемые для сенокошения, называют:

3) сенокосы;

216. Среднее поголовье животных рассчитывается, как:

2) путем деления суммы кормо-дней за определенный период на число дней этого периода;

217. Что такое продуктивность животных?

3) это средний выход продукта в расчете на одно животное;

218. Показатель динамики средней заработной платы исчисляют формулой агрегатного индекса:

2) I = ∑ X 1 T 1: ∑ X 0 T ;

219. Какая площадь называется весенней продуктивной?

2) площадь, которая сохранилась к окончанию весеннего сева;

220. Какая продукция называется товарной?

1) Часть валовой продукции, которая реализована;

221. Что является единицей статистического наблюдения?

1) Первичный элемент объекта исследования, который является носителем существенных признаков и особенно Cm Ей , которые подлежат регистрации;

222. По полноте охвата единиц наблюдения - наблюдение бывает...

3) сплошное, несплошное;

223. Какая относительная величина характеризует изменение процессов и явлений во времени?

4) относительная величина динамики.

224 Тест по статистике. Относительные величины динамики получаются в результате сопоставления показателей каждого последующего периода:

А) с предыдущим;

Б) с первоначальным.

Ответы: 3) а, 6;

225. Ряд динамики характеризует:

А) структуру совокупности по какому-то признаку;

Б) изменение характеристики совокупности во времени.

Уровень ряда динамики это:

В) определенное значение варьирующего признака в совокyпности;

Г) величина показателя на определенную дату или за определенный период.

Ответы: 4) Б, Г;

226. Индивидуальный индекс представляет собой результат сравнения двух одноименных величин, относящихся к:

А) различным периодам времени;

Б) различным территориям.

Ответы: 1) а;

227. Дать определение показателю коэффициента корреляции...

3) измеритель тесноты связи при простой прямолинейной зависимости;

228. К какому виду средних относится варианта, которая приходится на середину вариационного ряда?

2) Медиана;

229. Какой способ отбора нуждается в предыдущей градации генеральной совокупности на качественно однородные группы?

2) Серийный;

230. При помощи какой формулы рассчитывается парный коэффициент корреляции?

1) R = Yx – Y * X / Gy * Gx ;

231. Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле:

2) X Ср = ∑ Xi / N

232. Что называется темпом роста?

1) отношение каждого последующего уровня к предыдущему или к начальному уровню;

233. Какой имеет вид формула общего трудового индекса?

2) I = ∑ T 0 Q 1: ∑ T 1 Q 1;

234 Тест. Что такое залежи?

1) это земли, которые раннее использовались под посевы с.-х. культур, но в течение нескольких лет не засевались;

235. Как называется показатель, который определяется отношением числа телят, полученных за год только от коров, к числу коров на начало года?

3) выход приплода на 100 коров;

236. Средняя яйценоскость кур рассчитывается...

2) путем деления валового сбора яиц (без яиц молодок) на среднюю численность кур-несушек за соответствующий период;

237. При помощи, каких средств предприятия возмещают стоимость износа основных фондов?

2) амортизационных отчислений;

1) общий объем выполненных тракторами работ в эталонных гектарах делим на количество отработанных тракторо-дней;

239. Какая площадь называется обсемененной?

1) площадь, на которую высеяли семена;

240. Какая продукция называется валовой?

2) продукция, полученная в хозяйстве;

241. Что является предметом статистики как общественной науки?

3) количественная сторона массовых общественных явлений в конкретных условиях места и времени;

242. Определить всхожесть зерна можно при помощи наблюдения...

2) выборочного;

243. Какая относительная величина характеризует отношение планового показателя к другой величине, принятой за базу сравнения?

3) относительная величина выполнения планового задания;

244. Ряды распределения бывают:

А) атрибутные;

Б) вариационные.

Ответы: 3) а, б;

245 Тест по статистике. Поголовье коров на фермах хозяйства на протяжении квартала изменялось следующим образом, (гол.) на:

1.01-614 1.02-588 1.03-610 1.04-620

Определить среднее поголовье коров за квартал.

Ответы: 3) 605;

246. За прошлый год объемы промышленного производства увеличились на 2,5%, А оптовые цены на промышленную продукцию уменьшились в среднем на 1,2%. Темп роста объема промышленного производства составил, % :

А) 102,5; б)97,5;

Оптовых цен:

В) 101,2; г) 98,8.

Ответы: 2) а, г;

Тест по статистике - 247. Каким ученым был открыт закон нормального распределения?

3) Гауссом;

248. Каким правилом пользуются на практике при исследовании совокупности на предмет её соответствия нормальному закону?

2) Правилом 3 сигм;

249. Какую из приведенных математических функций используют для выравнивания ряда динамики, если коэффициент роста (цепной) стабильный?

3) Yt = ао*а1 T ;

250 Тест. Формула среднего квадрата отклонения будет иметь такой вид...

2) G 2 = ∑(Xi – X Ср )2* Fi / ∑ Fi

При анализе динамического ряда рассчитываются следующие показатели:

• средний уровень динамического ряда;
• абсолютные приросты: цепные и базисные, средний абсолютный прирост;
• темпы роста: цепные и базисные, средний темп роста;
• темпы прироста: цепные и базисные, средний темп прироста;
• абсолютное значение одного процента прироста.

Цепные и базисные показатели вычисляются для характеристики изменения уровней динамического ряда и различаются между собой базами сравнения: цепные рассчитываются по отношению к предыдущему уровню ( переменная база сравнения), базисные - к уровню, принятому за базу сравнения (постоянная база сравнения).

Средние показатели представляют собой обобщенные характеристики ряда динамики. С их помощью сравнивают интенсивность развития явления по отношению к различным объектам, например по странам, отраслям, предприятиям и т.д., или периодам времени.

9.2.1. Средний уровень ряда динамики

Конкретное числовое значение статистического показателя, относящееся к моменту или периоду времени, называется уровнем ряда динамики и обозначается через y i (где i - показатель времени).

Методика расчета среднего уровня зависит от вида динамического ряда, а именно: является ли он моментным или интервальным, с равными или неравными временными промежутками между соседними датами.

Если дан интервальный ряд динамики абсолютных или средних величин с равными периодами времени, то для расчета среднего уровня применяется формула средней арифметической простой:

где y 1 , y 2 , y i , …, y n - уровни динамического ряда;

п - число уровней ряда.

Пример 9.2. По данным таблицы определим среднемесячный размер страхового возмещения, выплаченного страховой компанией, в расчете на один пострадавший объект за полугодие:

Если временные промежутки интервального динамического ряда неравны, то значение среднего уровня находят по формуле средней арифметической взвешенной, в которой в качестве весов используют длину временных периодов, соответствующих уровням ряда динамики (t i)

Пример 9.3. По данным, представленным в таблице, определим среднемесячный размер страхового возмещения, выплаченного страховой компанией, в расчете на один пострадавший объект:

В моментных рядах динамики с одинаковыми временными промежутками между датами средний уровень ряда рассчитывается по формуле средней хронологической простой

где y n - значения показателя на конец рассматриваемого периода.

Пример 9.4. По приведенным ниже данным о размере денежных средств на счете вкладчика на начало каждого месяца определим средний размер вклада в I квартале 2006 г.:

Средний уровень моментного ряда динамики равен:

Хотя I квартал включает три месяца (январь, февраль, март), в расчете должны быть использованы четыре уровня ряда (включая данные на 1 апреля). Это легко доказать. Действительно, если исчислять средние уровни по месяцам, то получим:

в январе

в феврале

Рассчитанные средние образуют интервальный ряд динамики с равными временными промежутками, в котором средний уровень исчисляется, как мы видели выше, по формуле средней арифметической простой:

Аналогично, если требуется рассчитать средний уровень моментного ряда динамики с равными интервалами между датами за первое полугодие, то в качестве последнего уровня в формуле средней хронологической простой следует взять данные на 1 июля, а если за год - данные на 1 января следующего года.

В моментных рядах динамики с неравными промежутками между датами для определения среднего уровня применяется формула средней хронологической взвешенной:

где t i - длина временного периода между двумя соседними датами.

Пример 9.5. По данным о запасах товаров на начало месяца определим средний размер товарных запасов в 2006 г.

Таблица 9.9.

Дата	01.01.06	01.02.06	01.03.06	01.07.06	01.09.06	01.12.06	01.01.07
Запасы товаров, тыс. руб.	1 320	1 472	1 518	1 300	1 100	1 005	920

Средний уровень ряда равен:

Расстояние между датами

Если имеется полная информация о значениях моментного статистического показателя на каждую дату, то среднее значение этого показателя за весь период исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной:

где y i - значения показателя

t i - длина периода, в течение которого это значение статистического показателя оставалось неизменным.

Если мы дополним пример 9.4 информацией о датах изменения денежных средств на счете вкладчика в I квартале 2006 г., то получим:

• остаток денежных средств на 1 января - 132 000 руб.;
• января выдано - 19 711 руб.;
• 28 января внесено - 35 000 руб.;
• 20 февраля внесено - 2000 руб.;
• 24 февраля внесено - 2581 руб.;
• 3 марта выдано - 3370 руб. (в марте других изменений не происходило).

Итак, с 1 по 4 января (четыре дня) значение показателя оставалось равным 132 000 руб., с 5 по 27 января (23 дня) его значение составило 112 289 руб., с 28 января по 19 февраля (23 дня) - 147 289 руб., с 20 по 23 февраля (четыре дня) - 149 289 руб., с 24 февраля по 2 марта (семь дней) - 151 870 руб., с 3 по 31 марта (29 дней) - 148 500 руб. Для удобства проведения расчетов представим эти данные в таблице:

Таблица 9.10.

Длина периода, дней	4	23	23	4	7	29
Остаток денежных средств, руб.	132 00	112 289	147 289	149 289	151 879	148 500

По формуле средней арифметической взвешенной находим значение среднего уровня ряда

Как видим, среднее значение отличается от полученного в примере 9.4, оно является более точным, так как в вычислениях использовалась более точная информация. В примере 9.4 были известны лишь данные на начало каждого месяца, при этом не оговаривалось, когда же именно происходили изменения показателя, была применена формула хронологической средней.

В заключение отметим, что расчет среднего уровня ряда теряет свой аналитический смысл в случаях большой изменяемости показателя внутри ряда, а также при резкой смене направления развития явления.

9.2.2. Показатели абсолютного изменения уровней динамического ряда

Абсолютные приросты рассчитываются как разность между двумя значениями соседних уровней динамического ряда (цепные приросты) или как разность между значениями текущего уровня и уровня, принятого за базу сравнения (базисные приросты). Показатели абсолютного прироста имеют те же единицы измерения, что и уровни динамического ряда. Они показывают, на сколько единиц изменился показатель при переходе от одного момента или периода времени к другому.

Базисные абсолютные приросты рассчитывают по формуле

где у i - i-й текущий уровень ряда,

y 1 - первый уровень ряда динамики, принятый за базу сравнения.

Формула для определения цепных абсолютных приростов имеет вид

где у i - 1 - уровень, предшествующий i-му уровню динамического ряда.

Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц в среднем ежемесячно, или ежеквартально, или ежегодно и т.д. изменялось значение показателя в течение рассматриваемого периода времени. В зависимости от того, какими данными мы располагаем, его можно рассчитать следующими способами:

Пример 9.6. По данным таблицы определим показатели абсолютных приростов размера страхового возмещения, выплаченного страховой компанией.

* Сумма всех рассчитанных цепных абсолютных приростов дает базисный абсолютный прирост последнего периода.

Среднемесячный абсолютный прирост за полугодие равен

Таким образом, в среднем ежемесячно размер выплат страхового возмещения увеличивался на 1,2 тыс. руб.

9.2.3. Показатели относительного изменения уровней динамического ряда

Характеристиками относительного изменения уровней ряда динамики являются коэффициенты и темпы роста значений показателя и темпы их прироста.

Коэффициент роста представляет собой соотношение двух уровней динамического ряда, выраженное в виде простого кратного отношения. Он показывает, во сколько раз изменилось значение показателя в одном периоде (моменте) времени по сравнению с другим. Темп роста - это коэффициент роста, выраженный в процентах. Он показывает, сколько процентов составляет значение показателя в данном периоде, если уровень, с которым проводится сравнение, принять за 100%.

Так же, как и абсолютные приросты, коэффициенты и темпы роста могут быть цепными и базисными.

Цепные коэффициент и темп роста измеряют относительное изменение текущего уровня показателя по сравнению с предшествующим ему уровнем:

коэффициент роста:

темп роста:

Базисные коэффициент и темп роста характеризуют относительное изменение текущего уровня показателя по сравнению с базисным (чаще всего с первым) уровнем:

коэффициент роста

темп роста

Цепные и базисные коэффициенты роста имеют между собой следующую связь:

Средние темп роста и коэффициент роста в динамических рядах с равноотстоящими уровнями рассчитываются по формуле средней геометрической простой

Цепные коэффициенты роста;

- цепные темпы роста.

Эти формулы могут быть приведены к следующему виду:

Для того чтобы определить, на сколько процентов текущий уровень показателя больше или меньше значения предшествующего или базисного уровня, рассчитываются темпы прироста. Они исчисляют путем вычитания 100% из соответствующих темпов роста:

Средний темп прироста рассчитывается аналогичным образом: из среднего темпа роста вычитаются 100%:

Пример 9.7. В таблице приведены рассчитанные коэффициенты роста, темпы роста и прироста показателя, характеризующего среднемесячный размер выплаченного компанией страхового возмещения за период с января по июнь.

Рядом динамики называется ряд чисел, характеризующих изменение общественного явления во времени. Значения показателей, образующих ряд динамики, называют уровнем ряда.

Для общей характеристики уровня явления за тот или иной период исчисляется средний уровень ряда. Способ расчета среднего уровня ряда зависит от характера ряда. Различают моментный и интервальный ряды динамики.

Моментным рядом называют ряд, который образуют показатели характеризующие состояние явления на тот или иной момент времени.

Интервальным рядом динамики называют ряд, который образуют показатели характеризующие явление за тот или иной период времени.

Средний уровень интервального ряда определяется по формуле:

где n - число членов ряда динамики.

Средний уровень моментного ряда определяют по формуле средней хронологической:

Абсолютный прирост показывает на сколько единиц увеличился (или уменьшился) анализируемый уровень ряда относительно базисно уровня (по базисной схеме) или уровня предшествующего года (по цепной схеме). Соответственно его определяют по формулам:

(по базисной схеме),

(по цепной схеме).

Темп роста показывает, во сколько раз анализируемый уровень ряда увеличился (или уменьшился) по сравнению с уровнем принятым за базу сравнения (по базовой схеме) или предшествующим уровнем (по цепной схеме). Темп роста выражают в процентах или отвлеченных числах (коэффициент роста). Его определяют по формуле:

(по базисной схеме),

(по цепной схеме).

Темп прироста показывает, на сколько процентов увеличился (или уменьшился) анализируемый уровень ряда по сравнению с базисным (по базисной схеме), или предшествующим уровнем ряда (по цепной схеме). Его определяют как отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения по формулам:

(по базисной схеме),

(по цепной схеме).

Темпы роста и прироста связаны между собой, что видно из формул их расчета:

Это дает основание определить темп прироста через темп роста:

Средний темп роста и средний темп прироста характеризуют соответственно темпы роста и прироста за период в целом. Средний темп роста рассчитывается по данным ряда динамики по формуле средней геометрической:

где - количество цепных коэффициентов роста.

Исходя из соотношения темпов роста и прироста, определяется средний темп прироста:

Абсолютное значение одного процента прироста А - это отношение цепного абсолютного прироста к цепному темпу прироста выраженному в процентах. Оно определяется по формуле:

Как видно из расчета абсолютное значение одного процента прироста равно 0,01 предшествующего уровня.

С помощью ряда динамики изучают явления, имеющие сезонный характер. Сезонными колебаниями называют устойчивые внутригодовые колебания в ряду динамики, обусловленные специфическими условиями производства, потребления или продажи продукции или услуг. Например, потребление топлива или электроэнергии для бытовых нужд, перевозки пассажиров, продажи товаров и др.

Уровень сезонности оценивается с помощью индексов сезонности. Индекс сезонности показывает, во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени больше среднего уровня. Он определяется по формуле:

где - уровень сезонности;

Текущий уровень ряда динамики;

Средний уровень ряда.

Графически индекс сезонности может быть представлен с помощью полигона - основного вида графиков, используемого для графического изображения рядов динамики.

Задание 3

По данным таблицы 2 вычислите:

1. Основные аналитические показатели рядов динамики (по цепной и базисным схемам):

Абсолютный прирост;

Темпы роста;

Темпы прироста;

Абсолютное значение 1 % прироста.

2. Показатели средних:

Средний уровень ряда динамики;

Среднегодовой темп роста;

Среднегодовой темп прироста.

Табл. 2 Основные показатели

3. По данным таблицы 3 вычислите индекс сезонности и изобразите графически сезонную волну.

Табл. 3 Товарооборот магазина, тыс. руб.

Абсолютный прирост

По базисной схеме

По цепной схеме

Рассчитаем темпы роста

По базисной схеме

По цепной схеме

Рассчитаем темп прироста:

По базисной схеме

По цепной схеме

Рассчитаем средний темп роста

В целом за период прожиточный минимум увеличился до 128,35%.

Рассчитаем средний темп прироста

Вывод: В целом за период прирост прожиточного минимума составил 28,35%.

Рассчитаем абсолютное значение одного процента прироста

Табл. 4 Основные аналитические показатели ряда динамики

Показатели	Схема расчета
Уровень ряда Y i
Абсолютный прирост?Y	Базисная
Темп роста Т р,%	Базисная
Темп прироста Т пр,%	Базисная
Аб. Знач. 1% прироста A

Рассчитаем индексы сезонности

Табл. 5 Итоговые расчеты индексов

Изобразим волну сезонности

Рис.1

С начала года продажи начинают постепенно снижаться, после середины снова растут. Пик товарооборота приходится на январь месяц, в августе достигает минимального значения.

Одной из важнейших задач статистики является изучение изменений анализируемых показателей во времени, то есть их динамика . Эта задача решается при помощи анализа рядов динамики (временных рядов).

Ряд динамики (или временной ряд) - это числовые значения определенного статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени (т.е. расположенные в хронологическом порядке).

Числовые значения того или иного статистического показателя, составляющего ряд динамики, называют уровнями ряда и обычно обозначают буквой y . Первый член ряда y 1 называют начальным или базисным уровнем , а последний y n - конечным . Моменты или периоды времени, к которым относятся уровни, обозначают через t .

Ряды динамики, как правило, представляют в виде или , причем по оси абсцисс строится шкала времени t , а по оси ординат - шкала уровней ряда y .

Пример ряда динамики

Таблица. Число жителей России в 2004-2009 гг. в млн.чел, на 1 января
График ряда динамики числа жителей России в 2004-2009 гг. в млн.чел, на 1 января

Данные и наглядно иллюстрируют ежегодное снижение числа жителей России в 2004-2009 годах.

Виды рядов динамики

Ряды динамики классифицируются по следующим основным признакам:

1. По времени — ряды моментные и интервальные (периодные) , которые показывают уровень явления на конкретный момент времени или на определенный его период. Сумма уровней интервального ряда дает вполне реальную статистическую величину за несколько периодов времени, например, общий выпуск продукции, общее количество проданных акций и т.п. Уровни моментного ряда, хотя и можно суммировать, но эта сумма реального содержания, как правило, не имеет. Так, если сложить величины запасов на начало каждого месяца квартала, то полученная сумма не означает квартальную величину запасов.
2. По форме представления — ряды абсолютных, относительных и средних величин.
3. По интервалам времени — ряды равномерные и неравномерные (полные и неполные), первые из которых имеют равные интервалы, а у вторых равенство интервалов не соблюдается.
4. По числу смысловых статистических величин — ряды изолированные и комплексные (одномерные и многомерные) . Первые представляют собой ряд динамики одной статистической величины (например, индекс инфляции), а вторые — нескольких (например, потребление основных продуктов питания).

В нашем ряд динамики: 1) моментный (приведены уровни на 1 января); 2) абсолютных величин (в млн.чел.); 3) равномерный (равные интервалы в 1 год); 4) изолированный.

Показатели изменения уровней ряда динамики

Анализ рядов динамики начинается с определения того, как именно изменяются уровни ряда (увеличиваются, уменьшаются или остаются неизменными) в абсолютном и относительном выражении. Чтобы проследить за направлением и размером изменений уровней во времени, для рядов динамики рассчитывают показатели изменения уровней ряда динамики :

• абсолютное изменение (абсолютный прирост);
• относительное изменение (темп роста или индекс динамики);
• темп изменения (темп прироста).

Все эти показатели могут определяться базисным способом, когда уровень данного периода сравнивается с первым (базисным) периодом, либо цепным способом - когда сравниваются два уровня соседних периодов.

Базисное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и первого уровней ряда, определяется по формуле

i -того) периода больше или меньше первого (базисного) уровня, и, следовательно, может иметь знак «+» (при увеличении уровней) или «-» (при уменьшении уровней).

Цепное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и предыдущего уровней ряда, определяется по формуле

Оно показывает, на сколько (в единицах показателей ряда) уровень одного (i -того) периода больше или меньше предыдущего уровня, и может иметь знак «+» или «-».

В в столбце 3 рассчитаны базисные абсолютные изменения, а в столбце 4 - цепные абсолютные изменения.

Год	y					, %	,%
2004	144,2
2005	143,5	-0,7	-0,7	0,995	0,995	-0,49	-0,49
2006	142,8	-1,4	-0,7	0,990	0,995	-0,97	-0,49
2007	142,2	-2,0	-0,6	0,986	0,996	-1,39	-0,42
2008	142,0	-2,2	-0,2	0,985	0,999	-1,53	-0,14
2009	141,9	-2,3	-0,1	0,984	0,999	-1,60	-0,07
Итого			-2,3		0,984		-1,60

Между базисными и цепными абсолютными изменениями существует взаимосвязь : сумма цепных абсолютных изменений равна последнему базисному изменению, то есть

.

В нашем подтверждается правильность расчета абсолютных изменений: = - 2,3 рассчитана в итоговой строке 4-го столбца, а = - 2,3 - в предпоследней строке 3-го столбца .

Базисное относительное изменение (базисный темп роста или базисный индекс динамики) представляет собой соотношение конкретного и первого уровней ряда, определяясь по формуле

Цепное относительное изменение (цепной темп роста или цепной индекс динамики) представляет собой соотношение конкретного и предыдущего уровней ряда, определяясь по формуле

.

Относительное изменение показывает во сколько раз уровень данного периода больше уровня какого-либо предшествующего периода (при i >1) или какую его часть составляет (при i <1). Относительное изменение может выражаться в виде коэффициентов , то есть простого кратного отношения (если база сравнения принимается за единицу), и в процентах (если база сравнения принимается за 100 единиц) путем домножения относительного изменения на 100%.

В нашем в столбце 5 найдены базисные относительные изменения, а в столбце 6 – цепные относительные изменения.

Между базисными и цепными относительными изменениями существует взаимосвязь: произведение цепных относительных изменений равно последнему базисному изменению, то есть

В нашем примере про число жителей России подтверждается правильность расчета относительных изменений: = 0,995*0,995*0,996*0,999*0,999 = 0,984 - рассчитано по данным 6-го столбца, а = 0,984 - в предпоследней строке 5-го столбца .

Темп изменения (темп прироста) уровней - относительный показатель, показывающий, на сколько процентов данный уровень больше (или меньше) другого, принимаемого за базу сравнения. Он рассчитывается путем вычитания из относительного изменения 100%, то есть по формуле:

,

Или как процентное отношение абсолютного изменения к тому уровню, по сравнению с которым рассчитано абсолютное изменение (базисный уровень), то есть по формуле:

.

В нашем в столбце 7 найдены базисные темпы изменения, а в столбце 8 – цепные. Все расчеты свидетельствуют о ежегодном снижении числа жителей в России за период 2004-2009 гг.

Средние показатели ряда динамики

Каждый ряд динамики можно рассматривать как некую совокупность n меняющихся во времени показателей, которые можно обобщать в виде средних величин. Такие обобщенные (средние) показатели особенно необходимы при сравнении изменений того или иного показателя в разные периоды, в разных странах и т.д.

Обобщенной характеристикой ряда динамики может служить прежде всего средний уровень ряда . Способ расчета среднего уровня зависит от того, моментный ряд или интервальный (периодный).

В случае интервального ряда его средний уровень определяется по формуле из уровней ряда, т.е.

=
Если имеется моментный ряд, содержащий n уровней (y1, y2, …, yn ) с равными промежутками между датами (моментами времени), то такой ряд легко преобразовать в ряд средних величин. При этом показатель (уровень) на начало каждого периода одновременно является показателем на конец предыдущего периода. Тогда средняя величина показателя для каждого периода (промежутка между датами) может быть рассчитана как полусумма значений у на начало и конец периода, т.е. как . Количество таких средних будет . Как указывалось ранее, для рядов средних величин средний уровень рассчитывается по средней арифметической. Следовательно, можно записать
.
После преобразования числителя получаем
,

Где Y1 и Yn — первый и последний уровни ряда; Yi — промежуточные уровни.

Эта средняя известна в статистике как средняя хронологическая для моментных рядов. Такое название она получила от слова «cronos» (время, лат.), так как рассчитывается из меняющихся во времени показателей.

В случае неравных промежутков между датами среднюю хронологическую для моментного ряда можно рассчитать как среднюю арифметическую из средних значений уровней на каждую пару моментов, взвешенных по величине расстояний (отрезков времени) между датами, т.е.
.
В данном случае предполагается, что в промежутках между датами уровни принимали разные значения, и мы из двух известных (yi и yi+1 ) определяем средние, из которых затем уже рассчитываем общую среднюю для всего анализируемого периода.
Если же предполагается, что каждое значение yi остается неизменным до следующего (i+ 1)- го момента, т.е. известна точная дата изменения уровней, то расчет можно осуществлять по формуле средней арифметической взвешенной:
,

Где - время, в течение которого уровень оставался неизменным.

Кроме среднего уровня в рядах динамики рассчитываются и другие средние показатели - среднее изменение уровней ряда (базисным и цепным способами), средний темп изменения .

Базисное среднее абсолютное изменение представляет собой частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений. То есть

Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда представляет собой частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений на количество изменений, то есть

По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность.

Вычитанием 1 из базисного или цепного среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темп изменения , по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики.